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matemáticas.
Objetivos:
1. Clasificar los números.
2. Nombrar y relacionar las propiedades de los números reales en términos de sus operaciones.
1.1 Teoría Esencial
Conjuntos de Números Reales
Números naturales: \(\mathbb{N}=\left\{ 1,2,3,\ldots\right\}\). Los \(\ldots\) son llamados elipsis, que indican una continuación del patrón.
Números enteros: \(\mathbb{\mathbb{Z}}=\left\{ \ldots,-3,-2,-1,0,1,2,3,\ldots\right\}\).
Números racionales: \(\mathbb{\mathbb{Q}}=\left\{ \dfrac{a}{b}\mid\,a,b\in\mathbb{Z}\,\,\text{y,}\,b\neq0\right\}\).
Todo número racional cuando se escribe como un número decimal será un número con parte decimal que se repite o bien que termina.
Ejemplos:
\(\frac{3}{2}\qquad-\frac{3}{7}\qquad64=\frac{64}{1}\)
\(0.17=\frac{17}{100}\qquad\frac{2}{3}=0.66666\ldots=0.\overline{6}.\)
La raya sobre los dígitos que se repiten se llama vínculo.
Números irracionales: Denotado por \(\mathbb{I}\), son los números positivos y negativos cuyas representaciones decimales son infinitas y no periódicas. Los números irracionales, no pueden expresarse como el cociente de dos enteros y, por tanto, no son números racionales.
Ejemplos:
\(\sqrt{2}=1.414213562373095\ldots\)
\(\pi=3.141592653589793\ldots\)
Números reales: La unión del conjunto de los números racionales e irracionales es el conjunto de los números reales. Denotado por \(\mathbb{R}\), la definición simbólica es: \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup\mathbb{I}\).
El conjunto de los números enteros no negativos, es el formado por los enteros positivos y el cero.
El conjunto de los números enteros no positivos, es el formado por los enteros negativos y el cero.
Propiedades de los Números Reales
El conjunto de números reales \(\mathbb{R}\) junto con las operaciones de adición y multiplicación se llama sistema de los números reales.
Para las siguientes propiedades sean \(a,b\) y \(c\) números reales cualesquiera.
1.) Propiedad de cerradura de la adición y multiplicación: Para todo número real \(a\) y \(b\), existen números reales únicos \(a+b\) y \(ab\). Esto significa que cualesquiera dos números reales pueden sumarse o multiplicarse y el resultado en cada caso es un número real.
2.) Propiedades conmutativas:
(i) \(a+b=b+a\) (Adición)
(ii) \(a\cdot b=b\cdot a\quad\) o \(\quad ab=ba\) (Multiplicación)
Estas propiedades establecen que el orden en que se realiza la suma o la multiplicación no afecta el resultado final.
3.) Propiedades asociativas:
(i) \(a+\left(b+c\right)=\left(a+b\right)+c\) (Adición)
(ii) \(a\left(bc\right)=\left(ab\right)c\) (Multiplicación)
La manera en que se suman o multiplican tres números reales no afectará el resultado final.
4.) Propiedad distributiva:
(i) \(a\left(b+c\right)=ab+ac\)
(ii) \(\left(a+b\right)c=ac+bc\)
La propiedad distributiva se puede extender para incluir más de dos números en la suma.
5.) Propiedades de identidad:
(i) \(0+a=a+0=a\) (\(0\) es el elemento neutro de la adición)
(ii) \(1\cdot a=a\cdot1=a\) (\(1\) es el elemento neutro de la multiplicación)
6.) Propiedad del inverso aditivo:
\(a+\left(-a\right)=-a+a=0\)
Para cada número real \(a\), existe un número real \(-a\), llamado inverso aditivo de \(a\).
7.) Propiedad del inverso multiplicativo:
\(a\cdot\dfrac{1}{a}=\dfrac{1}{a}\cdot a=1\qquad\) si \(a\neq0\)
Para cada número real a diferente de cero, existe un número real, \(\dfrac{1}{a}\), llamado inverso multiplicativo (o recíproco) de \(a\).
8.) Propiedades de igualdad:
(i) Si \(a=b\), entonces \(a+c=b+c\) para todo número real \(c\).
(ii) Si \(a=b\), entonces \(ac=bc\) para todo número real \(c\).
9.) Propiedad del producto cero:
Si \(ab=0\), entonces \(a=0\) o \(b=0\), o ambos.
10.) Propiedad de la cancelación:
(i) Si \(ac=bc\), y \(c\neq0\), entonces \(a=b\).
(ii) \(\dfrac{ac}{bc}=\dfrac{a}{b}\), siempre que \(c\neq0\) y \(b\neq0\)
Definición de Resta
La resta se define en términos de la suma:
\(a-b=a+\left(-b\right)\)
Para restar \(b\) de \(a\), se suma el opuesto de \(b\) a \(a\).
Definición de División
La división de define en términos de la multiplicación. Si \(b\) es un número real diferente de cero, el cociente \(\dfrac{a}{b}\), se lee “\(a\) entre \(b\)” o “la razón de \(a\) a \(b\)” se define como
\(\dfrac{a}{b}=a\cdot\dfrac{1}{b}\quad\text{si, }b\neq0\)
Recta Real
Los números reales pueden representarse por puntos en una recta. Primero se selecciona un punto en la recta para representar el cero. Este punto se denomina origen. Después se elige una medida estándar de distancia, llamada distancia unitaria, y se marca sucesivamente en ambas direcciones a la derecha y a la izquierda del origen. Con cada punto sobre la recta se asocia una distancia dirigida, que depende de la posición del punto con respecto al origen. Las posiciones a la derecha del origen se consideran positivas (\(+\)) y las de la izquierda negativas (\(-\)).
A cada punto sobre la recta le corresponde un número real único, y a cada número real le corresponde un punto único de la recta. Por esta razón se dice que hay una correspondencia uno a uno (biunívoca) entre los puntos de la recta y los números reales. A esta recta se le llama la recta de los números reales.
La recta de números reales consiste en tres clases de números reales:
1. Los números reales negativos son las coordenadas de los puntos a la izquierda del origen.
2. El número real cero es la coordenada del origen.
3. Los números reales positivos son las coordenadas de los puntos a la derecha del origen.
1.2 Problemas Resueltos
Nota: Clic en VIDEO o PDF para observar la solución detallada del problema.
- Considere los siguientes números: \(\frac{2}{3}\), \(6\), \(\sqrt{3}\), \(-2.45\), \(\sqrt{2}\), \(18.\overline{4}\), \(-11\), \(\sqrt[3]{27}\), \(3\frac{1}{2}\), \(7.151551555\ldots\), \(-\sqrt{8}\), \(\pi\), \(-\frac{6}{5}\), \(0\), \(\sqrt{16}\), \(-\sqrt[3]{8}\), \(0.7142857142857142857\ldots\) VIDEO
(a) ¿Cuáles son números naturales?(b) ¿Cuáles son números enteros?(c) ¿Cuáles son números racionales?(d) ¿Cuáles son números irracionales?(e) ¿Cuáles son números reales?Nota: \(3\frac{1}{2}\) es un número mixto. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todos los números reales son irracionales." PDF - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\frac{1}{3}\) es elemento de \( \mathbb{Z} \)." PDF - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\frac{8}{0}\) es un elemento de \(\mathbb{Q}\)." PDF - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\sqrt{2}\) es un número racional." PDF - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(0.1333\ldots\) es un número irracional." PDF - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todo entero no negativo es un número natural." PDF
1.3 Problemas Propuestos
- Considere el conjunto: \(\left\{ -2,4,\frac{1}{2},\frac{5}{9},0,\sqrt{2},\sqrt{8},-1.23,\frac{78}{79}\right\}\). Liste los elementos que son:
(a) Números naturales. Resp. \(\left\{ 4\right\}\)
(b) Enteros no negativos. Resp. \(\left\{ 0,4\right\}\)
(c) Enteros. Resp. \( \left\{ -2,0,4\right\}\)
(d) Números racionales. Resp. \(\left\{ -2,-1.23,0,\frac{1}{2},\frac{5}{9},\frac{78}{79},4\right\}\)
(e) Números irracionales. Resp. \(\left\{ \sqrt{2},\sqrt{8}\right\}\)
(f) Números reales. Resp. \(\left\{ -2,4,\frac{1}{2},\frac{5}{9},0,\sqrt{2},\sqrt{8},-1.23,\frac{78}{79}\right\}\) - Considere el conjunto: \(\left\{ -6,\frac{5}{2},-1.333\ldots,\pi,2,5\right\}\).
(a) ¿Cuáles son números naturales? Resp. \(\left\{ 2,5\right\}\)
(b) ¿Cuáles son números enteros? Resp. \(\left\{ -6,2,5\right\}\)
(c) ¿Cuáles son números racionales? Resp. \(\left\{ -6,-1.333\ldots,2,\frac{5}{2},5\right\}\)
(d) ¿Cuáles son números irracionales? Resp. \(\left\{ \pi\right\}\)
(e) ¿Cuáles son números reales? Resp. \(\left\{ -6,\frac{5}{2},-1.333\ldots,\pi,2,5\right\}\). - Considere el conjunto: \(\left\{ 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right\}\).
(a) ¿Cuáles son números naturales? Resp. \(\left\{ 1\right\}\)
(b) ¿Cuáles son números enteros? Resp. \(\left\{ 0,1\right\}\)
(c) ¿Cuáles son números racionales? Resp. \(\left\{ 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right\}\)
(d) ¿Cuáles son números irracionales? Resp. Ninguno
(e) ¿Cuáles son números reales? Resp. \(\left\{ 0,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{1}{4}\right\}\). - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todos los números naturales son números racionales." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todos los números racionales son números reales." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todos los números naturales son números enteros." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(-4\) es un elemento de \(\mathbb{Z}\), pero \(-4\) no es un elemento de \(\mathbb{N}\)." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(1.5\) es un número racional." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(0.121212\ldots\) es un número racional." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\pi\) es un elemento de \(\mathbb{R}\), pero \(\pi\) no es un elemento de \(\mathbb{Q}\)." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todo número natural es un entero no negativo." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Algunos números racionales son enteros." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todo entero es un número racional." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Todo número racional es un entero." Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"La unión del conjunto de los números racionales con el conjunto de los números irracionales forma el conjunto de los números reales. " Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón."La intersección del conjunto de los números racionales y el conjunto de los números irracionales es el conjunto vacío." Resp. Verdadero.
- Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"El conjunto de los números naturales es un conjunto finito." Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"El conjunto de los enteros entre \(\pi\) y \(4\) es el conjunto vacío (nulo). Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"Los números racionales tienen decimales que o bien terminan o son sin fin con un bloque de dígitos que se repite." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"No existe un número que sea a la vez racional e irracional." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(a>0\) equivale a decir que \(a\) es positivo." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(a<0\) equivale a decir que a es negativo." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"El producto de dos números reales negativos siempre es mayor que cero." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(-13\) es un entero." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\frac{-2}{7}\) es racional." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(-3\) es un número natural." Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(0\) no es racional." Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\frac{7}{0}\) es un número racional. Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
\(\sqrt{25}\) no es un entero positivo." Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\sqrt{2}\) es un número real." Resp. Verdadero. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(\frac{0}{0}\) es racional." Resp. Falso. - Clasifique el enunciado como verdadero o falso. Si es falso, dé una razón.
"\(-3\) está a la derecha de \(-4\) sobre la recta numérica." Resp. Verdadero. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(2\left(x+y\right)=2x+2y\) Resp. Distributiva. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(x+5\right)+y=y+\left(x+5\right)\) Resp. Conmutativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(2\left(3y\right)=\left(2\cdot3\right)y\) Resp. Asociativa para la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\frac{5}{11}=\frac{1}{11}\cdot5\) Resp. Definición de la división. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(y+\left(x+y\right)=\left(y+x\right)+y\) Resp. Asociativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(8-y=8+\left(-y\right)\) Resp. Definición de la resta. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(5\left(4+7\right)=5\left(7+4\right)\) Resp. Conmutativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(8+a\right)b=8b+ab\) Resp. Distributiva. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(-1\right)\left[-3+4\right]=\left(-1\right)\left(-3\right)+\left(-1\right)\left(4\right)\) Resp. Distributiva. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(4\cdot5=5\cdot4\) Resp. Conmutativa para la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(6+2\right)+4=6+\left(2+4\right)\) Resp. Asociativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(8+0=8\) Resp. Elemento neutro de la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(1\cdot y=y\) Resp. Elemento neutro de la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(5+2\right)+4=\left(2+5\right)+4\) Resp. Conmutativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(17+41=41+17\) Resp. Conmutativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(3\left(xy\right)=\left(3x\right)y\) Resp. Asociativa para la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(7a\right)b=b\left(7a\right)\) Resp. Conmutativa para la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\pi+\left(-\pi\right)=0\) Resp. Inverso aditivo. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(x+\left(y+x\right)=\left(y+x\right)+x\) Resp. Conmutativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(b+\left(-b\right)=0\) Resp. Inverso aditivo. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(4\cdot\frac{1}{4}=1\) Resp. Recíproco o inverso multiplicativo. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(x+0=x\) Resp. Elemento neutro de la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(3\left(a+b\right)=\left(a+b\right)3\) Resp. Conmutativa para la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(a\left(b+0\right)=ab\) Resp. Elemento neutro de la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(4\left(x+y\right)=4x+4y\) Resp. Distributiva. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(0\cdot1=0\) Resp. Elemento neutro de la multiplicación. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(0+0=0\) Resp. Elemento neutro de la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(w+x\left(y+z\right)=w+\left(xy+xz\right) \) Resp. Distributiva. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(r+s\right)u+t=\left(s+r\right)u+t\) Resp. Conmutativa para la adición. - Establezca cuál propiedad de los números reales se usa en el siguiente problema.
\(\left(r+s\right)+\left(t+u\right)=r+\left[s+\left(t+u\right)\right] \) Resp. Asociativa para la adición.
